قصة العدد الغير النسبي 3.14
أساتذة وتلاميذ إعدادية ابن خلدون-العيون-الصحراء-المغرب :: مجــــــــــــــــالي الأدب والعلوم :: العلوم
صفحة 1 من اصل 1
قصة العدد الغير النسبي 3.14
منذ القِدَمْ ، لاحظ الإنسان أنّ النسبة بين محيط الدائرة و قطرها ثابتة دائماً ، فكان المزارع إذا ما ضاعف قطر الحقل الدائري الذي سيزرعه ، فهذا يعني أنه سيضاعف محيط السياج الذي سيضعه للحقل ، وهي النسبة التي اصطلحنا عليها اسم p فقلنا p = المحيط : القطر
بمعنىً آخر ، إذا كان لدينا دائرة قطرها وِحْدَةٌ واحدة ، فإن محيطها سيكون p وحدة . و النسبة p عندما تسأل أي طالب في المرحلة الإعدادية عن قيمتها ، فإنه سيجيبك مرتجلاً بأنها تساوي أو 3.14 تقريباً ، و لكن من تَعَرَّفَ على p عن كثب ، يعلم بأن هذا العدد عدد غير نسبي ، و أن ما تَلَقَّاهُ الطالب من تَلْقين ما هي إلا نسبة تقريبية لا أكثر و لا أقل .
ولكن ما هي قصة هذا العدد العجيب على مَرِّ العصور ؟
في البدء ، لابد أن نتذكر بأن الدائرة موجودة في كل ما حولنا ، فهي الشمس والقمر وبؤبؤ العين و العجلة ، ولهذا فإن فهم الدائرة بشكل أفضل يعني لنا فهم تكنولوجيا متقدمة لحضارة رائدة.
ففي العصور الغابرة ، وصف أحد الكهنة حمام السباحة بأحد المَصَحَّات قائلاً : (( عُمِلَ بحر دائري ، طول المسافة من الحافة إلى الحافة لها عشرة أذرع ، و ارتفاعها خمسة أذرع ، فيكون طول الخط الذي يدور حوله ثلاثون ذراعاً )) ، و يبدو من هذا الوصف أن القدماء اهتموا بمعرفة قيمة p وقدروها بـ 3 ، و هذه القيمة أقل من الواقع بحوالي 5 % ، هذا و قد قُدِّرَتْ عَبْرَ العصور وفقاً للجدول التالي :
Person / people
year
Value
Babylonians
~ 2000 BC
3 1/8
Egyptians
~ 2000 BC
(16/9)^2 = 3.1605
Chinese
~ 1200 BC
3
Old testament
~ 550 BC
3
Archimedes
~ 300 BC
Ptolomy
~ 200 AD
377/120 = 3.1466
Chung huing
~ 300 AD
Wang fau
263 AD
157/50 = 3.14
Tsu Chung-chi
~500 AD
Aryabhatta
~500
3.1416
Brahmaggupta
~600
Fibonacci
1220
3.141818
Ludolph van ceulen
1596
Calculatesp to 35 decimal places
Machin
1706
100 decimal places
Lambert
1766
Proves that p is irrational
Richter
1855
500 decimal places
Lindeman
1882
Proves that p is transcendental
Ferguson
1947
808 decimal places
Pegasus computer
1957
7840 decimal places
IBM 7090
1961
100000 decimal places
CDC6600
1967
500000 decimal places
Modern computer
1998
200 million decimal places
و لنا أن نتوقف عند محطتين في الجدول السالف الذِّكْرْ ، و هما التالي :
1) كانت تسيطر على الإغريق فكرة حل المسائل الثلاث الشهيرة ، و هي مضاعفة المكعب ، و تثليث الزاوية – تقسيم الزاوية إلى 3 أجزاء متساوية - ، و تربيع الدائرة ، و فكرة تربيع الدائرة تكمن في رسم مربع على دائرة بحيث تتساوى مساحة المربع بمساحة الدائرة ، فإذا كان طول قطر الدائرة يساوي وحدة الطول ، نستطيع أن نقول بأن مساحة الدائرة هي p وحدة مربعة واحدة، و هذا يعني أن طول ضلع المربع يساوي p ، و هنا توقف الإغريق لحل تربيع الدائرة بالفرجار ، و كان رائدهم في ذلك المجال هو عملاق دراسات الرياضيات و الطبيعة القديمة أرخميدس ، فكيف كان ذلك ؟
في الواقع ، إن محاولات حل هذه المسألة تملأ سجلات تاريخ الرياضيات منذ أيام فيثاغورث . و كان أرخميدس أول من عرف أن الصعوبة تكمن في التعريف . فعندما نتحدث عن مساحة المثلث ، فإننا نستطيع تعريف مصطلحاتنا و تحديدها بدقة . و نفس الشيء بالنسبة لبقية المضلعات . و لكن ماذا نعني بالمساحة المحدودة بمنحنى؟
صحيح أننا نستطيع أن نحددها بأضلاع و أشكال متعددة من الأضلاع المنتظمة من الداخل ، و الخارج ، و لكن المساحة نفسها لا يمكن تعريفها بدون إيجاد عمليات و حدود تقارب ال مالانهاية ، إن لم تكن هي ال مالانهاية نفسها.
و هكذا أصبحت مسألة تربيع الدائرة بُعْبُع الرياضيات ، و إيجاد قيمة p النسبية غاية تتطلع لها عقول و قلوب ذوي العقول الراجحة في الرياضيات ، و هذا ما نلاحظه من الجدول من الفترة الزمنية التالية لزمن أرخميدس ،و الذي أصبح الكل يتبارى من أجل الوصول إلى التعبير الدقيق لقيمة p لدرجة قال فيها الفلكي الأمريكي سيمون نيوكومب مؤكداً فائدة إيجاد قيمة p : (( تكفي عشرة أرقام عشرية لإيجاد محيط الكرة الأرضية إلى كسر من البوصة ، و ثلاثون رقماً عشرياً تعطي محيط العالم المرئي جميعه إلى مقدار لا يمكن تصويره بأقوى تيليسكوب )) ، و هذا ما قد يقود إلى اكتشاف نوع من الانتظام في تتابع الأرقام العشرية قد يساعدنا على معرفة طبيعة العدد p .
و هكذا بدأت البشرية تحصد التقدم في إيجاد عدد الأرقام العشرية لقيمة p وفقاً للجدول . و هنا لا يفوتنا أن نذكر بأن آخر النتائج عام 1998 قد أكدت أن أحد الكمبيوترات الحديثة قد توصل إلى إيجاد قيمة p مقربة لأقرب 200 مليون منزلة عشرية .
2) شهد العام 1766م تغيير مسار المسألة ، و ذلك بالإطاحة بفكرة تربيع الدائرة – الحلم الذي لم يتحقق – من الأساس . و ذلك بعد أن أثبت دي لامبرت أن p ليس عدداً نسبياً ، و هذا ما كبح النشاط المحموم لإيجاد قيمة p بالدقة المطلوبة ، و هكذا باءت جهود ألفي عام من التعب و الشقاء بالفشل ، و أحلام الباحثين عن مقعد لدى صفوة ذوي العقول و المجد قد أصبحت هباءاً منثورا، لا سيما و أنه سحق – و لم ينفِ – بهذا القيمة التي وجدها فرانسوا فيتي و التي تقول :
و القيمة التي توصل إليها جون ويلس و هي :
و كذلك أويلر في معادلته المشهورة :
لتحسم بذلك مسألة تربيع الدائرة و تتقدم إلى الوجود فكرة الترف ، بإثبات التقدم التكنولوجي بإيجاد قيمةp مقربة لأكبر قدر ممكن من المنازل العشرية ، و ما زالت القصة مستمرة في مجالها التكنولوجي ، فهل من نهاية ؟ والله أعلم
بمعنىً آخر ، إذا كان لدينا دائرة قطرها وِحْدَةٌ واحدة ، فإن محيطها سيكون p وحدة . و النسبة p عندما تسأل أي طالب في المرحلة الإعدادية عن قيمتها ، فإنه سيجيبك مرتجلاً بأنها تساوي أو 3.14 تقريباً ، و لكن من تَعَرَّفَ على p عن كثب ، يعلم بأن هذا العدد عدد غير نسبي ، و أن ما تَلَقَّاهُ الطالب من تَلْقين ما هي إلا نسبة تقريبية لا أكثر و لا أقل .
ولكن ما هي قصة هذا العدد العجيب على مَرِّ العصور ؟
في البدء ، لابد أن نتذكر بأن الدائرة موجودة في كل ما حولنا ، فهي الشمس والقمر وبؤبؤ العين و العجلة ، ولهذا فإن فهم الدائرة بشكل أفضل يعني لنا فهم تكنولوجيا متقدمة لحضارة رائدة.
ففي العصور الغابرة ، وصف أحد الكهنة حمام السباحة بأحد المَصَحَّات قائلاً : (( عُمِلَ بحر دائري ، طول المسافة من الحافة إلى الحافة لها عشرة أذرع ، و ارتفاعها خمسة أذرع ، فيكون طول الخط الذي يدور حوله ثلاثون ذراعاً )) ، و يبدو من هذا الوصف أن القدماء اهتموا بمعرفة قيمة p وقدروها بـ 3 ، و هذه القيمة أقل من الواقع بحوالي 5 % ، هذا و قد قُدِّرَتْ عَبْرَ العصور وفقاً للجدول التالي :
Person / people
year
Value
Babylonians
~ 2000 BC
3 1/8
Egyptians
~ 2000 BC
(16/9)^2 = 3.1605
Chinese
~ 1200 BC
3
Old testament
~ 550 BC
3
Archimedes
~ 300 BC
Ptolomy
~ 200 AD
377/120 = 3.1466
Chung huing
~ 300 AD
Wang fau
263 AD
157/50 = 3.14
Tsu Chung-chi
~500 AD
Aryabhatta
~500
3.1416
Brahmaggupta
~600
Fibonacci
1220
3.141818
Ludolph van ceulen
1596
Calculatesp to 35 decimal places
Machin
1706
100 decimal places
Lambert
1766
Proves that p is irrational
Richter
1855
500 decimal places
Lindeman
1882
Proves that p is transcendental
Ferguson
1947
808 decimal places
Pegasus computer
1957
7840 decimal places
IBM 7090
1961
100000 decimal places
CDC6600
1967
500000 decimal places
Modern computer
1998
200 million decimal places
و لنا أن نتوقف عند محطتين في الجدول السالف الذِّكْرْ ، و هما التالي :
1) كانت تسيطر على الإغريق فكرة حل المسائل الثلاث الشهيرة ، و هي مضاعفة المكعب ، و تثليث الزاوية – تقسيم الزاوية إلى 3 أجزاء متساوية - ، و تربيع الدائرة ، و فكرة تربيع الدائرة تكمن في رسم مربع على دائرة بحيث تتساوى مساحة المربع بمساحة الدائرة ، فإذا كان طول قطر الدائرة يساوي وحدة الطول ، نستطيع أن نقول بأن مساحة الدائرة هي p وحدة مربعة واحدة، و هذا يعني أن طول ضلع المربع يساوي p ، و هنا توقف الإغريق لحل تربيع الدائرة بالفرجار ، و كان رائدهم في ذلك المجال هو عملاق دراسات الرياضيات و الطبيعة القديمة أرخميدس ، فكيف كان ذلك ؟
في الواقع ، إن محاولات حل هذه المسألة تملأ سجلات تاريخ الرياضيات منذ أيام فيثاغورث . و كان أرخميدس أول من عرف أن الصعوبة تكمن في التعريف . فعندما نتحدث عن مساحة المثلث ، فإننا نستطيع تعريف مصطلحاتنا و تحديدها بدقة . و نفس الشيء بالنسبة لبقية المضلعات . و لكن ماذا نعني بالمساحة المحدودة بمنحنى؟
صحيح أننا نستطيع أن نحددها بأضلاع و أشكال متعددة من الأضلاع المنتظمة من الداخل ، و الخارج ، و لكن المساحة نفسها لا يمكن تعريفها بدون إيجاد عمليات و حدود تقارب ال مالانهاية ، إن لم تكن هي ال مالانهاية نفسها.
و هكذا أصبحت مسألة تربيع الدائرة بُعْبُع الرياضيات ، و إيجاد قيمة p النسبية غاية تتطلع لها عقول و قلوب ذوي العقول الراجحة في الرياضيات ، و هذا ما نلاحظه من الجدول من الفترة الزمنية التالية لزمن أرخميدس ،و الذي أصبح الكل يتبارى من أجل الوصول إلى التعبير الدقيق لقيمة p لدرجة قال فيها الفلكي الأمريكي سيمون نيوكومب مؤكداً فائدة إيجاد قيمة p : (( تكفي عشرة أرقام عشرية لإيجاد محيط الكرة الأرضية إلى كسر من البوصة ، و ثلاثون رقماً عشرياً تعطي محيط العالم المرئي جميعه إلى مقدار لا يمكن تصويره بأقوى تيليسكوب )) ، و هذا ما قد يقود إلى اكتشاف نوع من الانتظام في تتابع الأرقام العشرية قد يساعدنا على معرفة طبيعة العدد p .
و هكذا بدأت البشرية تحصد التقدم في إيجاد عدد الأرقام العشرية لقيمة p وفقاً للجدول . و هنا لا يفوتنا أن نذكر بأن آخر النتائج عام 1998 قد أكدت أن أحد الكمبيوترات الحديثة قد توصل إلى إيجاد قيمة p مقربة لأقرب 200 مليون منزلة عشرية .
2) شهد العام 1766م تغيير مسار المسألة ، و ذلك بالإطاحة بفكرة تربيع الدائرة – الحلم الذي لم يتحقق – من الأساس . و ذلك بعد أن أثبت دي لامبرت أن p ليس عدداً نسبياً ، و هذا ما كبح النشاط المحموم لإيجاد قيمة p بالدقة المطلوبة ، و هكذا باءت جهود ألفي عام من التعب و الشقاء بالفشل ، و أحلام الباحثين عن مقعد لدى صفوة ذوي العقول و المجد قد أصبحت هباءاً منثورا، لا سيما و أنه سحق – و لم ينفِ – بهذا القيمة التي وجدها فرانسوا فيتي و التي تقول :
و القيمة التي توصل إليها جون ويلس و هي :
و كذلك أويلر في معادلته المشهورة :
لتحسم بذلك مسألة تربيع الدائرة و تتقدم إلى الوجود فكرة الترف ، بإثبات التقدم التكنولوجي بإيجاد قيمةp مقربة لأكبر قدر ممكن من المنازل العشرية ، و ما زالت القصة مستمرة في مجالها التكنولوجي ، فهل من نهاية ؟ والله أعلم
ismail- عدد المساهمات : 19
نقاط : 0
تاريخ التسجيل : 24/10/2010
أساتذة وتلاميذ إعدادية ابن خلدون-العيون-الصحراء-المغرب :: مجــــــــــــــــالي الأدب والعلوم :: العلوم
صفحة 1 من اصل 1
صلاحيات هذا المنتدى:
لاتستطيع الرد على المواضيع في هذا المنتدى